题目内容
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[主观题]
证明古鲁金第二定理：平面有界闭区域D绕平面内不与它相交的轴旋转而成的旋转体，其体积等于D的面积A与D的形心
所划出的圆周之长的乘积．
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证明二重积分中值定理(性质7)．
二重积分中值定理：若f(x，y)在有界闭区域D上连续，则存在(ξ，η)∈D，使得
其中，SD是积分区域D的面积。
证明空间第二格林公式
其中S=aV，n是S的外法线单位向量，V是有界闭域，uV在V上有二阶连续导数．
计算下列三重积分:
(1)
,其中Ω是两个球:x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rr(R＞0)的公共部分;
(2)
,其中Ω是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域;
(3)
,其中Ω是由xOy平面上曲线y2=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域.
(黎曼-莱贝克定理的扩充)设K(x，y)是在平面区域-∞＜x＜∞，0≤y＜ω上的有界可测函数，且是变数y的周期函数，其周期为ω又设K(x，λx)对于每一个充分大的λ而言，都是-∞＜x＜∞上的可测函数．则对于任意一个莱贝克可积函数f(x)，下面的公式常常成立：
[徐利治]
设D是第二象限的一个有界闭区域，且0＜y＜1．记I1=I1，I2，I3的大小顺序是( )。
(A) I1≤I2≤I3(B) I2≤I1≤I
(C) I3≤I1≤I2(D) I3≤I2≤I1
设z=f(x，y)在有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且
,证明z的最大值与最小值在D的边界上取得.
设D是(x，y)面上的有界闭区域，函数f(x，y)在D上连续且不变号，又
试证明在区域D上f(x，y)=0．
