题目内容
（请给出正确答案）
计算曲面积分∫∫(S)zdS，其中(S)是由圆柱面x2+)+y2=R2被平面z=0和z=R+x所截下的部分。
答案
利用柱面坐标把圆柱面x2+y2=R2写成以ψ，z为双参数的向量方程r=r(ψ，z)=(Rcosψ，Rsinψ，z)，(ψ，z)∈(σ)，其中(σ)={(ψ，z)| 0≤ψ≤2π，0≤z≤R(1+cosψ)}由于点在曲面(S)上变动，故
从而
∫∫(S)zdS=R∫∫(σ)zdψdz
上式右端已转化为在ψOz平面的区域(σ)上的二重积分．将它化为累次积分得
∫∫(S)zdS=R∫∫(σ)zdψdz=R∫02πdψ∫0R(1+cosψ)zdz
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利用高斯公式计算下列第二型曲面积分：
(1)
(x+yx)dydz+(y+zx)dzdx+(x+xy)dxdy，其中S是由平面x=0，y=0，z=0，x+y+z=1所围立体表面的外侧。
(2)x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中S是锥面x2+y2=z2与平面z=h(h＞0)所围立体表面的外侧。
(3)
(x3+y2)dydz+y3dzdx+z3dxdy，其中S是上半球面z=
的上侧。
(4)4xzdydz-2yzdzdx+(1-z2)dxdy，其中S为Oyz平面上曲线z=ey(0≤y≤a)绕z轴旋转所成曲面的下侧。
下面的论断是否正确？正确的要说明理由，错误的则给出反例．
(1)∮CF·ds是一个向量；
(2)若A，B是曲线C的起点和终点，则有∮CF·ds=F(B)-F(A)；
(3)若向量场F在单位圆周x2+y2=1上的曲线积分等于0，则F必为一个梯度场；
(4)分片光滑的封闭曲面S所包围的体积必等于
其中cosα，cosβ，cosγ，为曲面S的外法线的方向余弦
求一积分曲面S:u=u(x，y),使其满足
并通过所给曲线Γ:x=1，u=-y2+2y-1．
计算曲面积分Σ(2x+z)dydz+zdxdy，其中Σ为有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角
利用柱面坐标计算下列三重积分：
(x2+y2)dxdydz∭ Ω
，其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域．
设曲面Σ是锥面
,其中f(u)是连续可微的奇函数
其中S是曲面2x2+2y2+z2=4,积分沿外侧.
，其中
，其中∑是包含原点的不自相交的任意光滑闭曲面外侧．
，其中Σ是抛物柱面
