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C的正交轨线的微分方程；
设曲面
M.的第1基本形式为
I.=
D.U2+(U2+A.2)
D.V2 (A.&
G.T;0).求：
曲线C1:
和C3:v=1所构成的三角形的边长与内角．
1. 求下列曲面M的第1基本形式和第2基本形式I，Ⅱ： (1)椭球面：
参数表示为X(Φ，Θ)=(ACOSΦCOSΘ，BCOS ΦSINΘ，CSINΦ)； (2)单叶双曲面
参数表示为X(U，V)=(ACH UCOSV，BCH USINV，CSHU)； (3)双叶双曲面
参数表示为X(U，V)=(ACHU，BSH UCOSV，CSH USINV)； (4)椭圆抛物面：
参数表示为
(5)双曲抛物线
参数表示为X(U，V)=(A(U+V)，B(U一V)，2UV)； (6)劈锥曲面：X(U，V)=(UCOSV，USINV，Φ(V))，Φ为C1函数； (7)
参数表示为X(U，V)=(A(U+V)，B(U—V)，U2+V2).
(θ为常数)．求第1基本形式系数的变换式．求球面x(θ，φ)=(Rsinθcosφ，Rsin θsinφ，Rcosθ)的第1、第2基本形式以及Gauss曲率KG、平均曲率H．
考察参数区域为上半平面D={(x，y)｜y＞0}，而其第1基本形式为
并称这个度量为Poincae度量．证明：它的测地线为正交于x轴的上半平面的半圆或半直线(即平行y轴的半直线)．
从球面M=S2(R)：x2+y2+z2=R2的北极向xOy平面作球极投影．证明：球面M的第1基本形式为
设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1)KG(P)＞0，即P0点的Gauss(总)曲率为正的；(2)在P0点，函数k1达到极大值，同时函数k2达到极小值，则P0为M的脐点．这和以下条件等价：设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1’)P0为非脐点；(2’)在P0点，函数k1达极大值，同时函数k2达极小值．则KG(P0)≤0．
