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[主观题]

证明存在有界线性映射F：c→c，它不能由无穷矩阵（kij)用下面形式来表示，对每个x∈c，这个级数对所有i及x都收

证明存在有界线性映射F：c→c，它不能由无穷矩阵(k_ij)用下面形式来表示，对每个x∈c，

$证明存在有界线性映射F：c→c，它不能由无穷矩阵（kij)用下面形式来表示，对每个x∈c，这$

这个级数对所有i及x都收敛。

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第1题

（a)设（kij)是无穷矩阵使得（2) 证明（kij)表示一个有界线性映射F：l∞→l∞，F的定义如下，i=1，2，…，（3)

(a)设(k_ij)是无穷矩阵使得

$（a)设（kij)是无穷矩阵使得（2) 证明（kij)表示一个有界线性映射F：l∞→l∞，$ (2)

证明(k_ij)表示一个有界线性映射F：l^∞→l^∞，F的定义如下

$（a)设（kij)是无穷矩阵使得（2) 证明（kij)表示一个有界线性映射F：l∞→l∞，$ ，i=1，2，…， (3)

这个级数对于所有i≥1和l^∞中的x都收敛。

(b)另一方面，若无穷矩阵(k_ij)使得(3)式定义了从c₀到l^∞的映射，证明(2)式成立。

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第2题

设X，Y，Z是Banach空间，{G。：a∈A)是一族从y到Z的有界线性映射。设若对所有A中的a有G。（y)一0，则必有y===0。证明若

设X，Y，Z是Banach空间，{G。：a∈A)是一族从y到Z的有界线性映射。设若对所有A中的a有G。(y)一0，则必有y===0。证明若F：X—y是线性的且对A中每个α，G_α·F∈BL(X，Z)，则F∈BL(X，Y)

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第3题

设X1，X2，Y都是数域上的赋范空间．若映射T：X1×X2→Y的每个截口都是线性算子，则称T是二重线性算子．若 sup{‖T（x

设X₁，X₂，Y都是数域 $设X1，X2，Y都是数域上的赋范空间．若映射T：X1×X2→Y的每个截口都是线性算子，则称T是二重线$ 上的赋范空间．若映射T：X₁×X₂→Y的每个截口都是线性算子，则称T是二重线性算子．若

sup{‖T(x₁，x₂)‖：‖x₁‖≤1，‖x₂‖≤1)＜∞，则称T有界．设X₁是完备的，截口T(x₁，·)与T(·，x₂)都是有界的，证明T是有界的．

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第4题

设X和Y是Banach空间。设Z是X的子空间，F：Z→Y是线性映射，它的图像在X×Y中是闭的。对z∈Z，设 ‖z‖F=（‖z‖2+‖F（z)‖2

设X和Y是Banach空间。设Z是X的子空间，F：Z→Y是线性映射，它的图像在X×Y中是闭的。对z∈Z，设

‖z‖_F=(‖z‖²+‖F(z)‖²)^1/2

证明Z在这个范数下是Banach空间且F∈BL(z，Y)[‖·‖_F称为F的图范数。]

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第5题

设C是Banach空间的有界凸闭子集．T：C→C是连续映射．设α是非紧性测度，且存在k∈（0，1)使对C的任一子集A有α（T（A))

设C是Banach空间的有界凸闭子集．T：C→C是连续映射．设α是非紧性测度，且存在k∈(0，1)使对C的任一子集A有α(T(A))≤kα(A)，证明T有不动点．

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第6题

设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p（x)≥0， p（kx)=|k|p（

设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到 $设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p$ 的一个映射，使得对X中所有x，y， $设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p$ ，有

p(x)≥0， p(kx)=|k|p(x)， p(x+y)≤p(x)+P(y)

若g： $设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p$ 是线性的，对Y中所有y有g(y)≤p(y)，证明：存在线性映射 $设Y是线性空间X的子空间，p是X上的半范数，即p是从X到的一个映射，使得对X中所有x，y，，有 p$ 使得f|_Y=g，且对X中所有x有|f(x)|≤p(x)

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第7题

设X是可分的Banach空间，证明存在满的有界线性算子T：l1→X．

设X是可分的Banach空间，证明存在满的有界线性算子T：l¹→X．

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第8题

证明：由L2到l的任何有界线性算子必是紧的

证明：由L²到l的任何有界线性算子必是紧的

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第9题

证明：若f（x)在（-∞，+∞)内连续，且存在，则f（x)必在（-∞，+∞)内有界．

证明：若f(x)在(-∞，+∞)内连续，且 $证明：若f（x)在（-∞，+∞)内连续，且存在，则f（x)必在（-∞，+∞)内有界．证明：若f(x)$ 存在，则f(x)必在(-∞，+∞)内有界．

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第10题

若f(x)在[a,∞)连续，并且存在，证明f(x)在[a,∞)有界。

若f（x)在[a,∞)连续，并且存在，证明f（x)在[a,∞)有界。

若f(x)在[a,∞)连续，并且若f（x)在[a,∞)连续，并且存在，证明f（x)在[a,∞)有界。若f(x)在[a,∞)连续，并且存在，证明f(x)在[a,∞)有界。

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