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[主观题]

证明:若函数项级数在区间I一致收敛,则函数列{un(x)}在区间I一致收敛于0.反之是否成立?考虑

证明:若函数项级数证明:若函数项级数在区间I一致收敛,则函数列{un(x)}在区间I一致收敛于0.反之是否成立?考虑证在区间I一致收敛,则函数列{un(x)}在区间I一致收敛于0.反之是否成立?考虑函数项级数证明:若函数项级数在区间I一致收敛,则函数列{un(x)}在区间I一致收敛于0.反之是否成立?考虑证在区间(0,1)的情况.

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第1题
证明:若函数f(x)的傅里叶级数在区间[一π,π]一致收敛于有界函数f(x),则有帕塞瓦尔②等式
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第2题
证明若函数{fn(x)}在区间l一致收敛于fn(x)}而每个函数f(x)在区间I有界,则函数列{fn(x)}在区间I一致有界.
证明若函数{fn(x)}在区间l一致收敛于fn(x)}而每个函数f(x)在区间I有界,则函数列{fn(x)}在区间I一致有界.

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第3题
证明:函数项级数在R一致收敛,但是对它非绝对收敛.函数项级数都绝对收敛,但是在R它非一致收敛.

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第4题
证明:若函数列{fn(x)}在[a,b]满足教材中定理8'的条件,则函数列{fn(x)}在[a,b]一致收敛.
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第5题
设z∈L2(-π,π]且延拓z为R上的周期为2π的函数。若x∈L2[-π,π],设 求证: (a)若为z的Fourier级数,则对x∈L2[-π

设z∈L2(-π,π]且延拓z为R上的周期为2π的函数。若x∈L2[-π,π],设

求证:

(a)若为z的Fourier级数,则对x∈L2[-π,π]有

这个级数在[-π,π]上一致绝对收敛。

(b)A为紧算子。

(c)A的特征值由z的Fourier系数cn给出,其对应的特征函数为eins,n=0,±1,±2,…。

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第6题
应用有限覆盖定理证明闭区间连续函数的一致连续性.若函数f(x)在闭区间[a,b]连续,则函数f(x)在闭区间[a,b]一致连续.
应用有限覆盖定理证明闭区间连续函数的一致连续性.若函数f(x)在闭区间[a,b]连续,则函数f(x)在闭区间[a,b]一致连续.

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第7题
设级数定义在间隔[-1,1]内.其普遍项为 则此级数必为简单一致收敛,而非一致收敛(对整个间隔[-1,1]而言).

设级数定义在间隔[-1,1]内.其普遍项为

则此级数必为简单一致收敛,而非一致收敛(对整个间隔[-1,1]而言).

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第8题
证明:若函数f(x)在[a,b]是阶梯函数,即存在[a,b]的一个分法T,而f(x)在每个小开区间(xi-1,xi)都是常数(i=1,2,...n),则f(x)在[a,b]可积.
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第9题
证明:若正项数列{an}单调减少,且级数收敛,则

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第10题
设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的纯量连续函数,k不恒为0,且任取s,t∈[0,1]有k(s,t)=k(t,s)。设A定义在L2[

设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的纯量连续函数,k不恒为0,且任取s,t∈[0,1]有k(s,t)=k(t,s)。设A定义在L2[0,1]为

,0≤s≤1, x∈L2[0,1]。

求证:存在非零实序列{λn},存在由[0,1]上的连续函数组成的标准正交序列{un},使得对x∈L2[0,1]

其中,若上述级数为无穷级数,则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2<∞

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第11题
证明:函数f(x)在区间I一致连续对区间I上任意两个数列{xn}与{yn},当时,有并证明函数f(x
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证明:函数f(x)在区间I一致连续对区间I上任意两个数列{xn}与{yn},当时,有

并证明函数f(x)=ex在R非一致连续.

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