设（X，τ)是Hausdorff拓扑线性空间，E是X的闭线性子空间，π：X→X/E是商投射，使得 π（x)=x+E（x∈X)，τE={VX/E：π-1（V

设(X，τ)是Hausdorff拓扑线性空间，E是X的闭线性子空间，π：X→X/E是商投射，使得

π(x)=x+E(x∈X)，τ_E={V $设（X，τ)是Hausdorff拓扑线性空间，E是X的闭线性子空间，π：X→X/E是商投射，使得$ X/E：π^-1(V)∈τ}．

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第1题

设X是Hausdorff复拓扑线性空间，dim X=n．证明：从X到上的线性同构映射必是同胚映射．

设X是Hausdorff复拓扑线性空间，dim X=n．证明：从X到 $设X是Hausdorff复拓扑线性空间，dim X=n．证明：从X到上的线性同构映射必是同胚映射．设$ 上的线性同构映射必是同胚映射．

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第2题

设x是区间[0，1]上所有复值函数全体按通常方式定义线性运算所构成的线性空间．在X上定义 Pt（x)=|x（t)| （t∈[0

设x是区间[0，1]上所有复值函数全体按通常方式定义线性运算所构成的线性空间．在X上定义

P_t(x)=|x(t)| (t∈[0，1]，x∈X)，证明{P_t}是X上的半范数族且满足 $设x是区间[0，1]上所有复值函数全体按通常方式定义线性运算所构成的线性空间．在X上定义 Pt（x$ x≠θ有 $设x是区间[0，1]上所有复值函数全体按通常方式定义线性运算所构成的线性空间．在X上定义 Pt（x$ p_t(x)＞0，并且由{p_t}定义的X上的局部凸拓扑是不可赋范的．

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第3题

设（X，τ)是拓扑空间，GX．

设(X，τ)是拓扑空间，G $设（X，τ)是拓扑空间，GX．设(X，τ)是拓扑空间，GX．$ X．

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第4题

设是拓扑空间X上的实函数列，α∈．证明：

设 $设是拓扑空间X上的实函数列，α∈．证明：设是拓扑空间X上的实函数列，α∈．证明：$ 是拓扑空间X上的实函数列，α∈ $设是拓扑空间X上的实函数列，α∈．证明：设是拓扑空间X上的实函数列，α∈．证明：$ ．证明：

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第5题

设{fn}是拓扑空间X上的非负实函数的序列，证明：

设{f_n}是拓扑空间X上的非负实函数的序列，证明：

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第6题

设X是具有单位元的Banach代数，x∈X，如果存在{xn}X，‖xn‖=1，使得xxn→θ或xnx→θ，则称x是X的一个拓扑零因子．证明：

设X是具有单位元的Banach代数，x∈X，如果存在{x_n} $设X是具有单位元的Banach代数，x∈X，如果存在{xn}X，‖xn‖=1，使得xxn→θ或xnx$ X，‖x_n‖=1，使得xx_n→θ或x_nx→θ，则称x是X的一个拓扑零因子．证明：

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第7题

设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f（x)=〈Tx，x〉．证明f按B上的弱拓扑是连续的．

设H是Hilbert空间，设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f（x)=〈为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→ $设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f（x)=〈$ 定义为f(x)=〈Tx，x〉．证明f按B上的弱拓扑是连续的．