考虑失业会如何影响索洛增长模型。假定产出是根据生产函数Y=Ka[（1－u＜sup＞*＜／sup＞)L]1－a而生产的

考虑失业会如何影响索洛增长模型。假定产出是根据生产函数Y=K^a[(1-u＜sup＞*＜/sup＞)L]^1-a而生产的。式中，K为资本；L为劳动；u^*为自然失业率。国民储蓄率为s，劳动力增长率为n。资本折旧率为δ。

a．把人均产出(y=Y/L)表示为人均资本(k=K/L)和自然失业率的函数。描述该经济的稳定状态。

b．假定政府政策的某些变化降低了自然失业率。描述这一变化随时间的推进如何影响产出。对产出的稳定状态的影响大于还是小于立即的影响？请解释。

Consider how unemployment would affect the Solow growth model. Suppose that output is produced according to the production function Y=K^α[(1-u＜sup＞*＜/sup＞)L]^1-α，where K is capital, L is the labor force, and u^*is the natural rate of unemployment. The national saving rate is s, the labor force grows at rate n, and capital depreciates at rate δ.

a．Express output per worker (y=Y/L) as a function of capital per worker (k=K/L) and the natural rate of unemployment. Describe the steady state of this economy.

b．Suppose that some change in government policy reduces the natural rate of unemployment. Describe how this change affects output both immediately and over time. Is the steady-state effect on output larger or smaller than the immediate effect？ Explain.

答案

a．资本的人均产出
=k^α(1-u^*)^1-α
人均产出是人均资本和自然失业率的函数。从上式中可以看出：失业降低了任何一个人均资本水平对应下的人均产出水平。这是因为失业使得参与生产的劳动力数量降低了，而人均产出是按劳动力总数除的。
稳定状态就是人均资本不再发生变化的状态，或者说是储蓄与资本扩展化相等的状态。因此稳定状态的人均资本量可由下式解出：
sy^*=(δ+n)k^*
sk^*α(1-u^*)^1-α=(δ+n)k^*
失业降低了资本的边际产量，所以，它如同一种不利的技术冲击，降低了稳定状态的资本存量。失业对稳态的影响：自然失业率升高使储蓄曲线下移，从而使稳定状态的人均资本和人均产出下降。
最后，只需把k^*代入人均产出函数，就可以得到人均产出y^*
所以，失业通过两种途径影响了稳态的产出水平。一方面，对任一给定的k，失业降低了产出y；另一方面，失业还降低了稳态的k^*，通过k^*又降低了y。
b．人均产出y随时间的增长路径。初始经济处于稳定状态，产出为y^*(u₁)，当失业率突然从u₁降低到u₂，由于人均储蓄的大幅上升，出现了大幅的资本深化，人均资本量增加，人均产出上升。开始的时候上升速度很快，随着时间的推移，资本深化的幅度下降，但仍然大于零，因此人均资本以及人均产出仍然在增长，只是增长率在逐渐降低。直到人均储蓄曲线与资本扩展化曲线重新相交，经济在u₂的自然失业率下重新达到均衡，人均产出达到(没有考虑技术进步，如果有技术进步的话只需把人均产出理解为产出与效率劳动的比，分析是类似的)。

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