题目内容
（请给出正确答案）
设
其中
(1)证明A的全体实系数多项式,对于矩阵多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间.
(2)求这个线性空间的维数及一组基
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设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是实系数多项式，n≥2，且某个ak=0(1≤k≤n-1)，及当i≠k时，ai≠0。证明：若f(x)有n个相异的实根，则ak-1·ak+1＜0
设p(x)是域F上首系数为1的多项式，且在某扩域中有根α．证明：若p(x)在F上不可约，则p(x)是α在F上的最小多项式．
设X是有单位元e的Banach代数，x∈X，p是复系数多项式且p(x)=θ．证明x的谱点都是p的根．
设X为Banach空间，A∈BL(X)，A≠0。求证：A为有限秩的当且仅当存在X中线性无关的元{x1，x2，...,xn}，X'中线性无关的元{x'1，x'2，…，x'n)使得
由此推出A的非零特征值为矩阵(kij)特征多项式非零根的全体，其中对i，j=1，2，…，n，kij=x'i(xj)
设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A*可交换。
设
是复希尔伯特空间，{αn}是实数列且
Tx=y:ηn=αnξn， n=1，2，…，
其中x=(ξ1，ξ2，…，ξ3，…)，y={η1，η2，…，ηn…}．证明：σ(T)等于{αn}的闭包，每个αn是T的特征值，且T的谱族{Eλ]由下式给出：
设K是一个惟一分解整环．证明： 1)ε是K的单位
ε是K[x]的单位； 2)可约的本原多项式必有次数大于零的多项式为其真因子．
设k(s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1]有k(s，t)=k(t，s)。设A定义在L2[0，1]为
求证：存在非零实序列{λn}，存在由[0，1]上的连续函数组成的标准正交序列{un}，使得对x∈L2[0，1]
其中，若上述级数为无穷级数，则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2＜∞
