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[主观题]

试证明: 设φ(x)是R1上的有界可测且以T>0为周期的函数,f∈L(I)(I是一个区间),则 .

试证明:

设φ(x)是R1上的有界可测且以T>0为周期的函数,f∈L(I)(I是一个区间),则

试证明:  设φ(x)是R1上的有界可测且以T>0为周期的函数,f∈L(I)(I是一个区间),则

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第1题
试证明: 设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则 .

试证明:

设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且试证明:  设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则  .试证明:    设f(x)是R1上,则

试证明:  设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则  .试证明:    设f(x)是R1上.

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第2题
试证明: 设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则 .

试证明:

设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则

试证明:  设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则  .试证

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第3题
试证明: (i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1. (ii),a.e.x∈R1.

试证明:

(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且试证明:  (i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1.  (ii),则试证明:  (i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1.  (ii),a.e.x∈R1

(ii)试证明:  (i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1.  (ii),a.e.x∈R1.

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第4题
试证明: 设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可

试证明:

设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令试证明:  设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可,则g(x)在(-1,1)上可积.

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第5题
试证明: 设f(x)在E上非负可测,则点集 Y={y∈R1:m({x∈E:f(x)=y})≠0}是可数集.

试证明:

设f(x)在E上非负可测,则点集

Y={y∈R1:m({x∈E:f(x)=y})≠0}是可数集.

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第6题
试证明: 设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1.

试证明:

设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若试证明:  设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,,a.e.x∈R1,则试证明:  设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,,a.e.x∈R1

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第7题
试证明: 设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则,a.e.x∈R1的充分必要条件是:对任给ε>0,存在可测集:m(E)<ε,

试证明:

设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则试证明:  设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则,a.e.x∈R1的充分必要条件是,a.e.x∈R1的充分必要条件是:对任给ε>0,存在可测集试证明:  设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则,a.e.x∈R1的充分必要条件是:m(E)<ε,使得对试证明:  设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则,a.e.x∈R1的充分必要条件是,存在K,有

|fk(x)-f(x)|<ε(k>K).

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第8题
试证明: 设f(x)是上的实值函数,则对任意的ε>0,存在R1上可测函数g(x)和点集H:,使得 m*(E)=m*(H),|f(x)-g(x

试证明:

设f(x)是试证明:  设f(x)是上的实值函数,则对任意的ε>0,存在R1上可测函数g(x)和点集H:,使得 上的实值函数,则对任意的ε>0,存在R1上可测函数g(x)和点集H:试证明:  设f(x)是上的实值函数,则对任意的ε>0,存在R1上可测函数g(x)和点集H:,使得 ,使得

m*(E)=m*(H),|f(x)-g(x)|<ε,x∈H.

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第9题
试证明: 对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为 (x,t)=(x1,x2,…,xn-1,t)∈Rn. 设E是Rn-1中可测集,h>0,点集 A={(α

试证明:

对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为

(x,t)=(x1,x2,…,xn-1,t)∈Rn.

设E是Rn-1中可测集,h>0,点集

A={(αz,αh):z∈E,0≤α≤1}

是以E为底、高为h且顶点为0的锥,则试证明:  对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为  (x,t)=(x1,x2,…,xn

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第10题
试证明: 设有定义在R1上的函数f(x),满足 f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1, 且在(m(E)>0)上有界,则f(x)=cx(x∈R1

试证明:

设有定义在R1上的函数f(x),满足

f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1

且在试证明:  设有定义在R1上的函数f(x),满足  f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1(m(E)>0)上有界,则f(x)=cx(x∈R1),其中c=f(1).

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