设A和B是试验E的两个事件，且P（A)＞0．P（B)＞0，并定义随机变量X，Y如下 证明：若ρXY=0，则X和Y必定相互独立．

[证明] 由题意知，
P{X=0}=1-P(A),P{X=1}=P(A),
P{Y=0}=1-P(B)，P{Y=1}=P(B)，
XY的所有可能取值为0，1，
E(X)=0×[1-P(A)]+1×P(A)=P(A),
E(Y)=P(B)，E(XY)=P{X=1，Y=1}，
由ρ_XY=0，得Cov(X，Y)=0，从而E(XY)-E(X)E(Y)=0．
即E(XY)=E(X)E(Y)，故P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}，又
P{X=0，Y=1}=P{Y=1}-P{X=1，Y=1}=P{Y-1}-P{X=1}P{Y=1}=P{Y=1}[1-P{X=1}]=P{Y=1}P{X=0}，
同理可证
P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0},
P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}，
所以X和Y相互独立。