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函数u=u(x,y,z)在某一区域内有二阶连续导数,且Δu=0,就称u是调和函数.若V是有界闭域,S是其边界面,n是S的外法
函数u=u(x,y,z)在某一区域内有二阶连续导数,且Δu=0,就称u是调和函数.若V是有界闭域,S是其边界面,n是S的外法线单位向量.
证明 (1)
(2)
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函数u=u(x,y,z)在某一区域内有二阶连续导数,且Δu=0,就称u是调和函数.若V是有界闭域,S是其边界面,n是S的外法线单位向量.
证明 (1)
(2)
设u(x,y,z)、v(x,y,z)是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,依次表示u(x,y,z)、v(x,y,z)沿∑的外法线方向的方向导数.证明
其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面,这个公式叫做格林第二公式.
设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,且满足下列条件之一,试证f(z)在D中内是常数。
(1)在D内也解析;
(2)u=ev+ 1。
证明:
求函数u=xyz在附加条件1/x+1/y+1/z=1/a(x>0,y>0,z>0,a>0)下的极值.
设随机变量X的分布函数FX(x)在区间(-∞,∞)上连续且单调增加,随机变量Y~U(0,1),求证:函数Z=F-1(Y)与X同分布,其中F-1(y)是FX(x)的反函数.
求函数在点P(x,y,z)处沿此点的向径r的方向导数;在什么情形下,此方向导数等于函数u的梯度的模?
设公是空间有界闭区域0的整个边界曲面,u(x,y,z) ,v(x,y,z)在Ω上有二阶连续偏导数,分别表示u(x,y,z),v(x,y,z)沿E的外法线方向的方向导数,证明:
验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y):(x^2+2xy-y^2)dx+(x^2-2xy-y^2)dy
高等数学复旦大学出版第三版下册课后习题答案习题十一
验证下列P(x, y)dx+Q(x, y)dy在整个xOy面内是某一函数u(x, y)的全微分,并求这样的一个函数u(x, y):
(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;
(2)2xydx+x2dy;
(3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy;
(4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy.