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求证：赋范空间上的有界线性算子的谱可以是数域的非空非紧子集。
求证：赋范空间上的有界线性算子的谱可以是数域
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设X1，X2，Y都是数域
sup{‖T(x1，x2)‖：‖x1‖≤1，‖x2‖≤1)＜∞，则称T有界．设X1是完备的，截口T(x1，·)与T(·，x2)都是有界的，证明T是有界的．
设X为赋范空间，z∈X，f∈X'。求证：若T：X→X定义为
T(x)=f(x)z， x∈X。
则T为紧线性算子。
设X，y为赋范空间，F：X→Y为线性算子。若y'∈Y'，定义F'(y')：
F'(y')(x)=y'(F(x))， x∈X
求证：
设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基，{kn}为有界纯量列求证：
定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[＜strong＞对角算子＜/strong＞]]。求A的特征值和谱。
设X和Y为赋范空间，φ：
y∈Y，令
求证：
(a)若φ为有界的，则它在X×Y上连续。
(b)若φ为有界的，则任取x∈X，y∈Y有fy∈X'，fx∈Y'
(c)若任取x∈X，y∈Y，有fy∈X'，fx∈Y'且X或Y为Banach空间，则φ必为有界的。
设X为赋范空间，Ω是X的有界开凸子集，θ∈Ω，T：
