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第1题
设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ（A)及W（A)分别为A的谱及数值域。求证： （a) （b)
设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：
(a)
(b)
第2题
设H为Hilbert空间，A∈BL（H)，W（A)为A的数值域。求证： （a)W（A)=ω（UAU-1)，其中U为H上的酉算子 （b)若W（A)至少含
设H为Hilbert空间，A∈BL(H)，W(A)为A的数值域。求证：
(a)W(A)=ω(UAU-1)，其中U为H上的酉算子
(b)若W(A)至少含有两个点，则W(A)的导集为W(A)
第3题
设H为Hilbert空间，T∈BL（H)。求证：T为酉算子当且仅当T将H的每一完全标准正交集映到完全标准正交集。
设H为Hilbert空间，T∈BL(H)。求证：T为酉算子当且仅当T将H的每一完全标准正交集映到完全标准正交集。
第4题
设H为Hilbert空间，W为H上所有酉算子之集。求证：BL（H)中的乘积使W成为一个群，W为BL（H)的闭集。问W是否为BL（H)
设H为Hilbert空间，W为H上所有酉算子之集。求证：BL(H)中的乘积使W成为一个群，W为BL(H)的闭集。问W是否为BL(H)的子空间？
第5题
设H为复Hilbert空间，W为所有BL（H)中自伴算子之集，W1为BL（H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W，记 U（A)=（A-iI)（A
设H为复Hilbert空间，W为所有BL(H)中自伴算子之集，W1为BL(H)中所有酉算子B之集使得
U(A)=(A-iI)(A+iI)1
求证：U为从W到W1的一一映射，其逆由下式给出：
U-1(B)=i(I+B)(I-B)-1， B∈W1
[U(A)被称为A的Cayley变换。]
第6题
设A为Hilbert空问H上的正规算子。求证： （a)对有， （b)σ（A)=σa（A)， （c)对应于不同特征值的特征向量相互正交
设A为Hilbert空问H上的正规算子。求证：
(a)对
(b)σ(A)=σa(A)，
(c)对应于不同特征值的特征向量相互正交。
第8题
设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得 ＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1
设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得
＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1
第10题
设H为Hilbert空间，A∈BL（H)。求证： （a)A为紧算子当且仅当A*A为紧算子。 （b)若A为紧的，则A*为紧的。
设H为Hilbert空间，A∈BL(H)。求证：
(a)A为紧算子当且仅当A*A为紧算子。
(b)若A为紧的，则A*为紧的。
