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[主观题]

设H是Hilbert空间，g是上解析函数，且，是自共轭算子，b∈，且b≠0．证明biI＋g（T)是可逆的，

设H是Hilbert空间，g是 $设H是Hilbert空间，g是上解析函数，且，是自共轭算子，b∈，且b≠0．证明biI＋g（T)是可$ 上解析函数，且 $设H是Hilbert空间，g是上解析函数，且，是自共轭算子，b∈，且b≠0．证明biI＋g（T)是可$ ，是自共轭算子，b∈ $设H是Hilbert空间，g是上解析函数，且，是自共轭算子，b∈，且b≠0．证明biI＋g（T)是可$ ，且b≠0．证明biI+g(T)是可逆的，

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第1题

证明：设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是线性算子，则σ（T)是闭集，且在ρ（T)上，S（λ)=（T-λI)-1是算子值解析函数．

证明：设H是Hilbert空间，T：D(T) $证明：设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是线性算子，则σ（T)是闭集，且在ρ（T)上，S（$ H→H是线性算子，则σ(T)是闭集，且在ρ(T)上，S(λ)=(T-λI)^-1是算子值解析函数．

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第2题

设T是Hilbert空间H中的稠定线性算子，证明D（T*)={θ}当且仅当T的图像G（T)在H×H中稠

设T是Hilbert空间H中的稠定线性算子，证明D(T^*)={θ}当且仅当T的图像G(T)在H×H中稠

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第3题

设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是闭的对称算子，令A={λ∈C：Imλ＞0}，证明在A与－A上都是常值．

设H是Hilbert空间，T：D(T) $设H是Hilbert空间，T：D（T)H→H是闭的对称算子，令A={λ∈C：Imλ＞0}，证明在A与$ H→H是闭的对称算子，令A={λ∈C：Imλ＞0}，证明在A与-A上都是常值．

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第4题

设T是复Hilbert空间H上的有界正算子，证明-T必是某C0类压缩半群的无穷小生成元，求出此压缩半群．

设T是复Hilbert空间H上的有界正算子，证明-T必是某C₀类压缩半群的无穷小生成元，求出此压缩半群．

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第5题

设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f（x)=〈Tx，x〉．证明f按B上的弱拓扑是连续的．

设H是Hilbert空间，设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f（x)=〈为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→ $设H是Hilbert空间，为紧算子，B={x∈H：‖x‖≤1}为单位闭球，f：B→定义为f（x)=〈$ 定义为f(x)=〈Tx，x〉．证明f按B上的弱拓扑是连续的．

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第6题

设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1

设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得

＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1

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第7题

设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ（A)及W（A)分别为A的谱及数值域。求证：（a) （b)

设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证：

(a) $设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ（A)及W（A)分别为A的谱及数值域。求证：（a)$

(b) $设A为Hilbert空间H上的酉算子，设σ（A)及W（A)分别为A的谱及数值域。求证：（a)$

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第8题

设A为Hilbert空间H上的紧算子，{un}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Aun→0

设A为Hilbert空间H上的紧算子，{u_n}为H的无穷标准正交序列，求证：在H中有Au_n→0

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第9题

设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1

设H为复Hilbert空间，A为H上的紧正规算子。求证：存在x∈H使得

＜Ax，x＞=‖A‖， ‖x‖=1

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第10题

设H为复Hilbert空间，A为H上的正规算子。求证：若σ（A)={0}，则A=0。证明这在下述情形下均不成立：（i)A不为正规

设H为复Hilbert空间，A为H上的正规算子。求证：若σ(A)={0}，则A=0。证明这在下述情形下均不成立：

(i)A不为正规的。

(ii)H为实Hilbert空间。

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