若对矩阵范数‖·‖,有‖E(0)‖=q<1,则格式(6.19)收敛,且有 (6.20) X(k+1)=X(k)(2I-AX(k)) (k=0,1,2,…) (6.1
若对矩阵范数‖·‖,有‖E(0)‖=q<1,则格式(6.19)收敛,且有
(6.20)
X(k+1)=X(k)(2I-AX(k)) (k=0,1,2,…) (6.19)
若对矩阵范数‖·‖,有‖E(0)‖=q<1,则格式(6.19)收敛,且有
(6.20)
X(k+1)=X(k)(2I-AX(k)) (k=0,1,2,…) (6.19)
给定m×n矩阵(kij),定义为
,1≤i≤m
设
,
若和均赋予范数‖·‖p,1﹤p﹤∞。证明
‖F‖≤γ1/pβ1/q
其中1/p+1/q=1。进一步推出若n=m且(kij)是对角矩阵,则
设(kij)是一个列有限的无穷矩阵,它的元素kij,都是纯量。对C00中的x,设F(x)=y,其中
,i=1,2,…。
设X=C00,范数是‖·‖,Y=C00,范数是‖·‖∞证明F:X→Y是线性的。再证明若存在α﹥0使得任取i,j有|kij|≤α,则F是连续的。
‖x‖=inf{r>0:r-1x∈E)
证明‖·‖是X上的范数,且
再证明任意赋范空间X上的范数都是由某个E按上述方式生成的。
设Y是线性空间X的子空间,p是X上的半范数,即p是从X到的一个映射,使得对X中所有x,y,,有
p(x)≥0, p(kx)=|k|p(x), p(x+y)≤p(x)+P(y)
若g:是线性的,对Y中所有y有g(y)≤p(y),证明:存在线性映射使得f|Y=g,且对X中所有x有|f(x)|≤p(x)
矩阵C的列向量线性无关,则对任何可乘的矩阵B,有n(B)=n(CB).
若存在一可乘的矩阵B,使n(B)=n(CB),则C的列向量必线性相关?
(注:n(A)={x|Ax=0}为A的零化子空间).
设非负矩阵A∈Rn×n,若A有正特征向量x,则对所有m=1,2,…和i=1,2,…,n,有
,其中Am=(ij(m)).特别地,若γ(A)>0,则对m=1,2,…,都有γ(A)-1Am的各元一致有界.