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[主观题]

设∥A∥a是Cn×n上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵，且∥B－1∥a及∥C－1∥a都小于或等于1，证明对任何A∈

Cn×n，∥A∥b=∥BAC∥a定义了Cn×n上的一个相容矩阵范数．

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首先证明∥A∥b=∥BAC∥a是一个矩阵范数．正定性 对任意A≠0则BAC≠0即∥BAC∥a>0且∥BAC∥a=0当且仅当A=0．齐次性 ∥λA∥b=∥B(λA)C∥a=λ∥BAC∥a=λ∥A∥b. 三角不等式∥A1+A2∥b=∥B(A1+A2)C∥a≤∥BA1C∥a+∥BA2C∥a=∥A1∥b∥A2∥b下面证明相容性．∥A1A2∥b=∥B(A1A2)C∥a=∥(BA1C)C－1B－1(BA2C)∥a≤∥BA1C∥a∥C－1B－1∥a∥BA2C∥a≤∥BA1C∥a∥C－1∥a∥B－1∥a∥BA2C∥a≤∥BA1C∥a∥BA2C∥a=∥A1∥b∥A2∥b证毕．
首先证明∥A∥b=∥BAC∥a是一个矩阵范数．正定性对任意A≠0,则BAC≠0,即∥BAC∥a>0,且∥BAC∥a=0当且仅当A=0．齐次性∥λA∥b=∥B(λA)C∥a=λ∥BAC∥a=λ∥A∥b.三角不等式∥A1+A2∥b=∥B(A1+A2)C∥a≤∥BA1C∥a+∥BA2C∥a=∥A1∥b∥A2∥b下面证明相容性．∥A1A2∥b=∥B(A1A2)C∥a=∥(BA1C)C－1B－1(BA2C)∥a≤∥BA1C∥a∥C－1B－1∥a∥BA2C∥a≤∥BA1C∥a∥C－1∥a∥B－1∥a∥BA2C∥a≤∥BA1C∥a∥BA2C∥a=∥A1∥b∥A2∥b证毕．

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更多“设∥A∥a是Cn×n上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵…”相关的问题
第1题
设A∈Rn×n，∥A∥是Rn×n上的任意一种矩阵范数，则

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第2题
对于格式（2.3)，若有矩阵范数‖·‖，使得‖B‖＜1，则迭代序列{x（k)}收敛于x*，且有 （2.10) （2.11) 式中的向

对于格式(2.3)，若有矩阵范数‖·‖，使得‖B‖＜1，则迭代序列{x(k)}收敛于x*，且有

(2.10)

(2.11)

式中的向量范数与矩阵范数相容．

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第3题
设A∈Rn×n为对称正定矩阵，χ∈Rn，‖χ‖＝是Rn中的一种向量范数。

设A∈Rn×n为对称正定矩阵，χ∈Rn，‖χ‖＝

是Rn中的一种向量范数。

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第4题
设A={a，b，c，d}，A上的二元关系为：R={（a，a)，（a，b)，（b，a)，（a，d)，（d，a)，（b，b)，（c，c)，（d，d)}，写出R的关系矩阵，并

设A={a，b，c，d}，A上的二元关系为：R={(a，a)，(a，b)，(b，a)，(a，d)，(d，a)，(b，b)，(c，c)，(d，d)}，写出R的关系矩阵，并断定R是否是A上的相容关系．

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第5题
给定m×n矩阵（kij)，定义为 ,1≤i≤m 设 ， 若和均赋予范数‖·‖p,1﹤p﹤∞。证明 ‖F‖≤γ1/pβ1/q 其中1/p+1/q=1。

给定m×n矩阵(kij)，定义为

,1≤i≤m

设

，

若和均赋予范数‖·‖p,1﹤p﹤∞。证明

‖F‖≤γ1/pβ1/q

其中1/p+1/q=1。进一步推出若n=m且(kij)是对角矩阵，则

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第6题
设（kij)是一个列有限的无穷矩阵，它的元素kij，都是纯量。对C00中的x，设F（x)=y，其中 ，i=1，2，…。 设X=C00，范

设(kij)是一个列有限的无穷矩阵，它的元素kij，都是纯量。对C00中的x，设F(x)=y，其中

，i=1，2，…。

设X=C00，范数是‖·‖，Y=C00，范数是‖·‖∞证明F：X→Y是线性的。再证明若存在α﹥0使得任取i，j有|kij|≤α，则F是连续的。

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第7题
设A为n阶正矩阵，若存在某个x∈Cn，x≥0，x≠0，Ax=λx，试证x为Perron向量的倍数且λ=γ（A)．

设A为n阶正矩阵，若存在某个x∈Cn，x≥0，x≠0，Ax=λx，试证x为Perron向量的倍数且λ=γ(A)．

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第8题
设且非奇异，又设‖x‖为上一向量范数，定义 ‖x‖p=‖Px‖ 试证明‖x‖p是上向量的一种范数．

设且非奇异，又设‖x‖为上一向量范数，定义

‖x‖p=‖Px‖

试证明‖x‖p是上向量的一种范数．

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第9题
设X是可分的赋范空间，赋有范数‖·‖证明：存在X上的等价范数，使得X在此范数下为严格凸的。
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第10题
设A、B、C及D都是Hermite正定矩阵，它们的特征值依次为 a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn c1≥c2≥…≥cn，d1≥d2≥…≥dn， 则α

设A、B、C及D都是Hermite正定矩阵，它们的特征值依次为

a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn

c1≥c2≥…≥cn，d1≥d2≥…≥dn，

则αP的一个近似值为，αQ的一个近似值为．

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第11题
考虑无穷矩阵 若 β=sup{|cn|+|an|+|bn|:n=1，2，…)＜∞， γ=sup{|bn-1|+|an|+|cn+1|:n=1，2，…)＜∞， 其中b0=

考虑无穷矩阵

若

β=sup{|cn|+|an|+|bn|:n=1，2，…)＜∞，

γ=sup{|bn-1|+|an|+|cn+1|:n=1，2，…)＜∞，

其中b0=0=c1.求证：上述矩阵相对于l2上的典范标准正交基定义了l2上的有界线性算子A，且‖A‖≤(βγ)1/2。[这类矩阵称为Jacobi矩阵。]

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