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[主观题]

试证明: 设f(x)定义在R1上,且记DL(f),DR(f)各是f(x)的左不连续点集与右不连续点集.若其中之一是可数集,则

试证明:

设f(x)定义在R1上,且记DL(f),DR(f)各是f(x)的左不连续点集与右不连续点集.若其中之一是可数集,则另一点集也是.

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第1题
试证明: 设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则 .

试证明:

设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则

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第2题
试证明: 设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N) (En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}), 则存在且m(Z)=0,使得

试证明:

设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N)

(En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}),

则存在且m(Z)=0,使得(x∈R1\Z).

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第3题
试证明: 设有定义在R1上的函数f(x),满足 f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1, 且在(m(E)>0)上有界,则f(x)=cx(x∈R1

试证明:

设有定义在R1上的函数f(x),满足

f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1

且在(m(E)>0)上有界,则f(x)=cx(x∈R1),其中c=f(1).

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第4题
试证明: 设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可

试证明:

设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可积.

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第5题
试证明: 设且m(E)=1,f(x)在E上正值可积,且记,则 .

试证明:

且m(E)=1,f(x)在E上正值可积,且记,则

.

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第6题
试证明: 设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则 .

试证明:

设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则

.

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第7题
试证明: (i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1. (ii),a.e.x∈R1.

试证明:

(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1

(ii),a.e.x∈R1.

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第8题
试证明: 设φ(x)是R1上的有界可测且以T>0为周期的函数,f∈L(I)(I是一个区间),则 .

试证明:

设φ(x)是R1上的有界可测且以T>0为周期的函数,f∈L(I)(I是一个区间),则

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第9题
试证明: 设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1.

试证明:

设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1

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第10题
试证明: 设f(x,t)定义在(a,b)×(a,b)上,且对取定的t∈(a,b),f(x,t)是x在(a,b)上的连续可微函数;对取定的x∈(a

试证明:

设f(x,t)定义在(a,b)×(a,b)上,且对取定的t∈(a,b),f(x,t)是x在(a,b)上的连续可微函数;对取定的x∈(a,b),f(x,t)是t在(a,b)上的连续函数,若存在F∈L((a,b)),使得|f'x(x,t)|≤F(t),则在(a,b)上可微,且有.

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第11题
试证明: 设,则f:R1→R1在E上的图形集 Gf={(x,y):y=f(x),x∈E} 是Gδα曲集.

试证明:

,则f:R1→R1在E上的图形集

Gf={(x,y):y=f(x),x∈E}

是Gδα曲集.

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