试证对一切实数x≥1,y>0而言,常有不等式 [y/x]≤[y]/[x]
试证对一切实数x≥1,y>0而言,常有不等式
[y/x]≤[y]/[x]
试证对一切实数x≥1,y>0而言,常有不等式
[y/x]≤[y]/[x]
设f(x)在(0,+∞)内连续,且对x,y的一切正实数值满足
f(xy)=f(x)+f(y)。试证f(x)在(0,+∞)内不恒等于零时,一定为对数函数f(x)=logax,其中a为正常数
设在可测空间(X,)上给定两个测度μ1,μ2,令μ=a1μ1+a2μ2,这里a1,a2是实数。试证:存在X的分解X=A∪B,,使A为μ的正集,B为μ的负集。(μ的正集定义为:对每个可测集E,E∩A可测且μ(E∩A)≥0。负集的定义类似。)
设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,f(x)在点x=0处连续,且对一切实数x1,x2有
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),试证f(x)在(-∞,+∞)内处处连续。
设f(x)在(0,+∞)内连续,且对x,y的一切正实数值满足
f(xy)=f(x)·f(y)。试证f(x)在(0,+∞)内不恒等于零时,一定为幂函数f(x)=xa,其中a为常数。
变式设函数f(x)在(0,+∞)内连续,对任意x有f(x2)=f(x),且f(3)=5,求f(x)
数列{xn}存在极限,则其任一子列{xnk}也必定存在极限,且子列的极限等于数列的极限。
从而对于连续函数f(x)则有
。
试证萨比洛的弱“陶贝尔型”定理可被扩充成如下的形式:设α>0.又设φ(t)为一正值单调上升函数并满足关系:
此处x→∞系经过这样的实数序列而使上式中的Stieltjes积分恒有意义,于是必有二正常数β1及β2使当x甚大时常有:
β1xα≤φ(x)≤β2xα,其中β1决不可能大于1/α,而β2决不可能小于1/α.
试证连续函数f(x)是周期函数的充要条件是:存在T>0,使对一切的x有∫xx+Tf(t)dt=∫0Tf(t)dt
设f(x)定义在[a,b]上,且对[a,b]内任意两点x,y及0<λ<1,有
f(λx+(1-λ)y≤λf(x)+(1-λ)f(y)
试证
设函数f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx,其中a1,a2,…,an都是实数,n为正整数,已知对一切实数x有|f(x)|≤|sinx|证明:
|a1+2a2+…+nan|≤1