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[主观题]

设定义在R1上的函数f(x)满足 |f(x)-f(y)|≤e|x|+|y||x-y| (x,y∈R1). 若,m(E)=0,则m(f(E))=0.

设定义在R1上的函数f(x)满足

|f(x)-f(y)|≤e|x|+|y||x-y| (x,y∈R1).

设定义在R1上的函数f(x)满足  |f(x)-f(y)|≤e|x|+|y||x-y| (x,y∈R,m(E)=0,则m(f(E))=0.

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第1题
试证明: 设有定义在R1上的函数f(x),满足 f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1, 且在(m(E)>0)上有界,则f(x)=cx(x∈R1

试证明:

设有定义在R1上的函数f(x),满足

f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1

且在试证明:  设有定义在R1上的函数f(x),满足  f(x+y)=f(x)+f(y), x,y∈R1(m(E)>0)上有界,则f(x)=cx(x∈R1),其中c=f(1).

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第2题
设f(x)在R1上可测.若有f(x+1)=f(x),a.e.x∈R1,试作R1上函数g(x):g(x)=f(x),a.e.x∈R1,g(x)=g(x+1) (x∈R1).

设f(x)在R1上可测.若有f(x+1)=f(x),a.e.x∈R1,试作R1上函数g(x):g(x)=f(x),a.e.x∈R1,g(x)=g(x+1) (x∈R1).

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第3题
令(斜坡函数) 并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).

令(斜坡函数)

令(斜坡函数)    并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1

并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).

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第4题
试证明: 设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则 .

试证明:

设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则

试证明:  设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则  .试证

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第5题
试证明: 设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可

试证明:

设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令试证明:  设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可,则g(x)在(-1,1)上可积.

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第6题
设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且满足 f(x+y)=f(x)+f(y),f'(0)=0证明:在(-∞,+∞)内f(x)恒等于零

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且满足

f(x+y)=f(x)+f(y),f'(0)=0证明:在(-∞,+∞)内f(x)恒等于零

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第7题
设是闭集,试作R1上的连续可微的递增函数,使得F={x∈R1:f'(x)=0}.

设是闭集,试作R1上的连续可微的递增函数,使得F={x∈R1:f'(x)=0}.设是闭集,试是闭集,试作R1上的连续可微的递增函数,使得F={x∈R1:f'(x)=0}.

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第8题
试证明: 设f(x)定义在R1上,且记DL(f),DR(f)各是f(x)的左不连续点集与右不连续点集.若其中之一是可数集,则

试证明:

设f(x)定义在R1上,且记DL(f),DR(f)各是f(x)的左不连续点集与右不连续点集.若其中之一是可数集,则另一点集也是.

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第9题
试证明: 设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则 .

试证明:

设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且试证明:  设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则  .试证明:    设f(x)是R1上,则

试证明:  设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则  .试证明:    设f(x)是R1上.

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第10题
试证明: 设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及

试证明:

设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得试证明:  设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(

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