试证明:
设fk∈L(E),且fk(x)≤fk+1(x)(k∈N).若有
(x∈E),(k∈N),
则f∈L(E),且有
.
试证明:
设fk∈L(E)(k∈N),F∈L(E).若有
fk(x)≤F(x)(x∈E),.
则在E上可积,且有
.
试证明:
设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若有
,
则fk(x)在E上依测度收敛于f(x).
试证明:
设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则,a.e.x∈R1的充分必要条件是:对任给ε>0,存在可测集:m(E)<ε,使得对,存在K,有
|fk(x)-f(x)|<ε(k>K).
试证明:
设f∈C([0,1]),且令
f'1(x)=f(x),f'2(x)=f1(x),…,f'n(x)=fn-1(x),….
若对每一个x∈[0,1],都存在自然数k,使得fk(x)=0,则.
试证明:
设0≤f1(x)≤f2(x)≤…≤fk(x)≤…(x∈E).若fk(x)在E上依测度收敛于f(x),则
.