设线性算子由下式给出 ,i=1,2,…,m, 求证:为 ,j=1,2,…,n,
设线性算子由下式给出
,i=1,2,…,m,
求证:为
,j=1,2,…,n,
设线性算子由下式给出
,i=1,2,…,m,
求证:为
,j=1,2,…,n,
设H为复Hilbert空间,W为所有BL(H)中自伴算子之集,W1为BL(H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W,记
U(A)=(A-iI)(A+iI)1
求证:U为从W到W1的一一映射,其逆由下式给出:
U-1(B)=i(I+B)(I-B)-1, B∈W1
[U(A)被称为A的Cayley变换。]
证明:设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是线性算子,则σ(T)是闭集,且在ρ(T)上,S(λ)=(T-λI)-1是算子值解析函数.
设△1为习题3.2.1中的Laplace算子,即△1f=f11+f33.而△2为[20]1.5节定义5中的Laplace—Beltrami算子,即△2:C∞(M,R)→C∞(M,R),△2f=div gradf.Gauss公式设f与g为曲面M上的C∞函数,D为M的一个区域,aD=C为闭曲线,则当i=1,2时,有:(1)
.其中n为区域D在M上的外法向量,ds为弧长元,dA为面积元;(2)
设是复希尔伯特空间,{αn}是实数列且令
Tx=y:ηn=αnξn, n=1,2,…,
其中x=(ξ1,ξ2,…,ξ3,…),y={η1,η2,…,ηn…}.证明:σ(T)等于{αn}的闭包,每个αn是T的特征值,且T的谱族{Eλ]由下式给出:
设H为Hilbert空间,{un}为H的可数标准正交集,{un}不一定为完全的。{kn}为有界纯量序列,用E表示集合{kn:n=1,2,…}。对x∈H令
(19)
求证:
(a)A∈BL(H)且
(b)
(c)若,则A-kI的逆B由下式给出
,k=0,
, k≠0
设集合A={{1,2,3},{4,5},{6,7,8}},则下式为真的是(19),设A:{1,2},B={a,L,c},C={c,d},则Ax(B∩C)=(20)。
A.
B.
C.
D.
(a)设(kij)是无穷矩阵使得
(2)
证明(kij)表示一个有界线性映射F:l∞→l∞,F的定义如下
,i=1,2,…, (3)
这个级数对于所有i≥1和l∞中的x都收敛。
(b)另一方面,若无穷矩阵(kij)使得(3)式定义了从c0到l∞的映射,证明(2)式成立。
考虑无穷矩阵
若
β=sup{|cn|+|an|+|bn|:n=1,2,…)<∞,
γ=sup{|bn-1|+|an|+|cn+1|:n=1,2,…)<∞,
其中b0=0=c1.求证:上述矩阵相对于l2上的典范标准正交基定义了l2上的有界线性算子A,且‖A‖≤(βγ)1/2。[这类矩阵称为Jacobi矩阵。]
设E是n维线性空间,{e1,e2,…,en}是E的一个基,
(αij)(i,j=1,2,…,n)
是正定矩阵,对E中的元素x=∑i=1nxiei及y=∑i=1nyiei,定义
(x,y)=∑i,j=1nαijxiyj, (*)
则(·,·)是E上一个内积(注:正定矩阵的定义,请参考有关线性代数的教科书)。反之,设(·,·)是E上的一个内积,则必存在正定矩阵(αij)使(*)成立。