题目内容
（请给出正确答案）
设E是n维线性空间，{e1，e2，…，en}是E的一个基，
(αij)(i，j=1，2，…，n)
是正定矩阵，对E中的元素x=∑i=1nxiei及y=∑i=1nyiei，定义
(x,y)=∑i,j=1nαijxiyj， (*)
则(·，·)是E上一个内积(注：正定矩阵的定义，请参考有关线性代数的教科书)。反之，设(·，·)是E上的一个内积，则必存在正定矩阵(αij)使(*)成立。
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设E1和E2是赋范空间X的子集，
E1+E2={x+y：x∈E1，y∈E2)。
证明以下结论：
试证明：
设E是由n个元素形成的集合．E1，E2，…，En+1是E的非空子集，则存在r，s个不同指标：
i1，i2，…，ir；j1，j2，…，js，
使得Ei1∪…∪Eir=Ej1∪…∪Ejs．
设E1和E2是赋范空间X的不交非空凸子集，其中E1是紧的，E2是闭的。证明：存在X'中的厂和实数α1，α2，使得对所有E1中的x1和E2中的x2有
Ref(x1)＜α1＜α2＜Ref(x2)
设e1，e2，…，en是满足1e1+2e2+…+nen=n的非负整数，试说明如何构造集合{1，2，…，n}上的一个置换f，使得type(f)=(e1，e2，…，en)。
设V为n维线性空间，σ∈L(V)，W≤V，若
设σ，τ∈L(V)，W≤V，若W为τ的不变子空间，则W为σ的不变子空间？
设V是复数域上的n维线性空间，T1，T2是V上的线性变换，且T1T2=T2，T1，证明： (1)如果λ0是T1的特征值，则Vλ0是T2的不变子空间； (2)T1，T2至少有一个公共的特征向量．
设V为n维线性空间，σ，τ∈L(V)，且στ=τσ，则σV，σ-1(0)均为τ-子空间．故τV，τ-1(0)均为σ-子空间．
若σV，σ-1(0)均为τ-子空间，τV，τ-1(0)均为σ-子空间，则στ=τσ？
试证明：
设f:X→Y是满射，则下列条件等价：
(i)f是一一映射；
(ii)对任意的E1，
(iii)对任意的
，均有
；
(iv)对任意的
是n维线性空间V的两个线性变换，证明：
，试证明
