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题目内容（请给出正确答案）

[主观题]

设S为非空集合，l2（S)为所有S上的纯量函数x满足：（i){s∈S：x（s)≠0)为可数集且（ii) 若x，y∈l2（S)，令（34

设S为非空集合，l²(S)为所有S上的纯量函数x满足：

(i){s∈S：x(s)≠0)为可数集且

(ii) $设S为非空集合，l2（S)为所有S上的纯量函数x满足：（i){s∈S：x（s)≠0)为可数集且$

若x，y∈l²(S)，令

$设S为非空集合，l2（S)为所有S上的纯量函数x满足：（i){s∈S：x（s)≠0)为可数集且$ (34)

求证：l²(S)为Hilbert空间。

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第1题

设k（s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1]有k（s，t)=k（t，s)。设A定义在L2[

设k(s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1]有k(s，t)=k(t，s)。设A定义在L²[0，1]为

$设k（s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1$ ，0≤s≤1， x∈L²[0，1]。

求证：存在非零实序列{λ_n}，存在由[0，1]上的连续函数组成的标准正交序列{u_n}，使得对x∈L²[0，1]

$设k（s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1$

其中，若上述级数为无穷级数，则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λ_n|²＜∞

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第2题

设X=L2[0，1]，是为闭单位正方形 S={s（t)：0≤S，t≤1} 上的纯量连续函数。对x∈X，令 ,0≤s≤1 求证：A：X→X为紧

设X=L²[0，1]，是为闭单位正方形

S={s(t)：0≤S，t≤1}

上的纯量连续函数。对x∈X，令

$设X=L2[0，1]，是为闭单位正方形 S={s（t)：0≤S，t≤1} 上的纯量连续函数。对x$ ,0≤s≤1

求证：A：X→X为紧线性算子。

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第3题

设R，S是非空集合A上的等价关系，则R∪S的对称性（)

A.一定成立

B.取决于R是否包含S

C.不一定成立

D.一定不成立

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第4题

设T为L2[a，b]上的紧自伴算子，而且有L2[a，b]中的完备规范正交系{en}，使得 ∑n=1∞‖Ten‖2＜∞ 证明：存在a≤t≤b，a

设T为L²[a，b]上的紧自伴算子，而且有L²[a，b]中的完备规范正交系{e_n}，使得

∑_n=1^∞‖Te_n‖²＜∞

证明：存在a≤t≤b，a≤s≤b上平方可积函数K(t，s)满足

$设T为L2[a，b]上的紧自伴算子，而且有L2[a，b]中的完备规范正交系{en}，使得 ∑n=1$

且对一切x∈L²[a，b]，

Tx(t)=∫_a^bK(t，s)x(s)ds

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第5题

设X=C[0，1]，k为闭单位正方形 S={（s，t)：0≤s，t≤1) 上的纯量连续函数。设A：X→X定义为 ,0≤s≤a,x∈X 求证：A为

设X=C[0，1]，k为闭单位正方形

S={(s，t)：0≤s，t≤1)

上的纯量连续函数。设A：X→X定义为

$设X=C[0，1]，k为闭单位正方形 S={（s，t)：0≤s，t≤1) 上的纯量连续函数。设A$ ,0≤s≤a,x∈X

求证：A为紧算子。

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第6题

设S：l2→l2定义为（Sx)（i)=x（i+2)，i=1，2，…，x∈l2 Tn=Sn，计算

设S：l²→l²定义为

(S_x)(i)=x(i+2)，i=1，2，…，x∈l²

T_n=Sⁿ，计算

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第7题

设H=L2[0，1]，其中数域。对x∈H，令，0≤s≤1 求证：A∈BL（H)为自伴的，求mA和MA

设H=L²[0，1]，其中数域 $设H=L2[0，1]，其中数域。对x∈H，令，0≤s≤1 求证：A∈BL（H)为自伴的，求mA$ 。对x∈H，令

$设H=L2[0，1]，其中数域。对x∈H，令，0≤s≤1 求证：A∈BL（H)为自伴的，求mA$ ，0≤s≤1

求证：A∈BL(H)为自伴的，求m_A和M_A

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第8题

设F为可微函数，a，b，c为非零常数，则由方程F（cx-az，cy-bz)=0给出的曲面S上任意点处的法向量为n=——．

设F为可微函数，a，b，c为非零常数，则由方程F(cx-az，cy-bz)=0给出的曲面S上任意点处的法向量为n=——．

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第9题

设S为一离散无记忆信源，其符号集合为{0，1}，概率分布为p（0)=0.995，p（1)=0.005。令信源符号序列的长度为n=100，

设S为一离散无记忆信源，其符号集合为{0，1}，概率分布为p(0)=0.995，p(1)=0.005。令信源符号序列的长度为n=100，假定对所有只包含3个以下符号“1”的序列编制长度为k的非奇异二进制码。求：

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第10题

有一中等直径钢管并联管路（见图)，流过的总流量为0.08m3／s，钢管的直径d1=150mm，d2=200mm，长度l1=500m，l2=800

有一中等直径钢管并联管路(见图)，流过的总流量为0.08m³/s，钢管的直径d₁=150mm，d₂=200mm，长度l₁=500m，l₂=800m。求并联管中的流量Q₁、Q₂及A、B两点间的水头损失(设并联管路沿程阻力系数均为λ=0.039）。

有一中等直径钢管并联管路（见图)，流过的总流量为0.08m3／s，钢管的直径d1=150mm，d2=

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