![](https://static.youtibao.com/asksite/comm/h5/images/m_q_title.png)
设H为有限维Hilbert空间,A∈BL(H)。若 (i)A为自伴的或 (ii)A为正规的且数域K为 求证:存在纯量t1,t2,…,tm存
设H为有限维Hilbert空间,A∈BL(H)。若
(i)A为自伴的或
(ii)A为正规的且数域K为
求证:存在纯量t1,t2,…,tm存在Y1,Y2,…,Ym为两两正交的H的子空间,使得任取x∈H
x=y1+y2+…+ym, yi∈Yi,
A(x)=t1y1+…+tmym
![](https://static.youtibao.com/asksite/comm/h5/images/solist_ts.png)
设H为有限维Hilbert空间,A∈BL(H)。若
(i)A为自伴的或
(ii)A为正规的且数域K为
求证:存在纯量t1,t2,…,tm存在Y1,Y2,…,Ym为两两正交的H的子空间,使得任取x∈H
x=y1+y2+…+ym, yi∈Yi,
A(x)=t1y1+…+tmym
设H为有限维Hilbert空间,A∈BL(H)。设P1,P2,…,Pm为H的非零正交投影使得
PiPj=0, i≠j, (28)
I=P1+P2+…+Pm(29)
k1,k2,…,km为m个两两不等的纯量,使得
A=k1P1+k2P2+…+kmPm(30)
求证:k1,k2,…,kmA不同特征值的全体,且P1,P2,…,Pm为到相应特征空间的正交投影
设H为Hilbert空间,A∈BL(H)。设存在非零纯量列{cn}及非零正交投影列{Pn}使得:任取n≠m有PnPm=0,
, x∈H (40)
cn→0,每一个R(Pn)都为有限维子空间。求证:
(a)A为紧正规的。
(b){cn}为A不同的特征值的全体。
(c)R(Pn)为对应于cn的特征空间。
设A为有限维复Hilbert空间,A为H上的正规算子,求证:A*=p(A),其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换,则B也与A*可交换。
设A∈BL(H),H为Hilbert空间。若A为自伴且为可逆的,求证:
举例说明上述不等式可以是严格的。
设A∈BL(H),其中H为Hilbert空间。求证:A有特征值λ使得|λ|=‖A‖当且仅当存在x∈H,‖x‖=1,|<Ax,x>|=‖A‖
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列,A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1, n=1,2,…。
求σ(A)
设A∈BL(H),其中H为Hilbert空间。求证:A有特征值λ使得|λ|=‖A‖当且仅当存在x∈H,‖x‖=1,|<Ax,x>|=‖A‖
设H为Hilbert空间,A∈BL(H)。求证:
(a)A为紧算子当且仅当A*A为紧算子。
(b)若A为紧的,则A*为紧的。
设H为Hilbert空间,W为所有H上的正规算子之集。求证:
(a)w为BL(H)的闭集。
(b)W不可能为BL(H)的真子空间。
设H为Hilbert空间,P∈BL(H)。求证:P为正交投影当且仅当P为幂等的且‖P‖≤1。