求由向量α1=（1，2，1，0)T，α2=（1，1，1，2)T，α3=（3，4，3，4)T，α4= （1，1，2，1)T，α5=（4，5，6，4)T所生成的向量空间的一组

令A=(α₁，α₂，α₃，α₄，α₅)，对A施以初等变换得：
2 -1 0 5
0 1 2 -1
1 0 1 2
2 3 8 1 所以α₁，α₂，α₄为一极大线性无关组，因此向量α₁，α₂，α₃，α₄，α₅生成的向量空间为V={x=k₁α₁+k₂α₂+k₄α₄ |k₁，k₂，k₃为任意实数}，其维数为3．
下面求V的一组标准正交基．
(1)先把α₁，α₂，α₄正交化，得
β₁=α₁=(1，2，1，0)^T．
0 -1 -2 1
0 1 2 -1
1 0 1 2
0 4 8 -4 (2) 再把β₁，β₂，β₃单位化，得
0 0 0 0
0 1 2 -1
1 0 1 2
0 0 0 0
所以 dim(L(α1,α2,α3,α4))=2
α1,α2 是 L(α1,α2,α3,α4) 的一组基.