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[主观题]

设(G,*)是一个群,HGG,H≠且H中的元素都是有限阶的,运算在H中封闭,则(H,*)是(G,*)的子群.

设(G,*)是一个群,H设(G,*)是一个群,HGG,H≠且H中的元素都是有限阶的,运算在H中封闭,则(H,*)是(G,*)GG,H≠设(G,*)是一个群,HGG,H≠且H中的元素都是有限阶的,运算在H中封闭,则(H,*)是(G,*)且H中的元素都是有限阶的,运算在H中封闭,则(H,*)是(G,*)的子群.

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第1题
设G是有限群,且H<G.证明:设群G=G1×G2×…×Gn.证明:当i≠j时,Gi∩Gj=e.

设群G=G1×G2×…×Gn.证明:当i≠j时,Gi∩Gj=e.

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第2题
设G是有限群,且H<G.证明:设群G是其子群G1与G2的直积,即 G=G1×G2. 证明:G/G1≌G2, G/G2≌G1.

设群G是其子群G1与G2的直积,即 G=G1×G2. 证明:G/G1≌G2, G/G2≌G1.

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第3题
设G是群,K≤H≤G.又A={a1,a2,…)与B={b1,b2,…}分别为G关于H和H,关于K的左陪集代表系.证明: AB={aib
j|ai∈A,bj∈B} 是G关于K的一个左陪集代表系.

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第4题
设G=R×R,R为实数集,G上的一个二元运算+定义为 〈x1,y1〉+〈x2,y2〉=〈x1+x2,y1+y2〉. 又设H={(x,y)|y=2x},证明:

设G=R×R,R为实数集,G上的一个二元运算+定义为

〈x1,y1〉+〈x2,y2〉=〈x1+x2,y1+y2〉.

又设H={(x,y)|y=2x},证明:(G,+)为阿贝尔群,(H,+)为子群,并求(x0,y0)H,(x0,y0)∈G.

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第5题
设(H,*)和(K,*)都是群(G,*)的子群,令 HK={h*k|h∈H,k∈K}, KH={k*h|h∈H,k∈K}, 证明:(HK,*)是群(G,*)的子群

设(H,*)和(K,*)都是群(G,*)的子群,令

HK={h*k|h∈H,k∈K}, KH={k*h|h∈H,k∈K},

证明:(HK,*)是群(G,*)的子群的充分必要条件为HK=KH。

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第6题
设T是Hilbert空间H中的稠定线性算子,证明D(T*)={θ}当且仅当T的图像G(T)在H×H中稠

设T是Hilbert空间H中的稠定线性算子,证明D(T*)={θ}当且仅当T的图像G(T)在H×H中稠

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第7题
设K和H都是群G的子群,试证明:若H•K是G的子群,则K•H=H•K。

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第8题
设(H,*)和(K,*)都是群(G,*)的子群,证明(H∩K,*)也是(G,*)的子群。

设(H,*)和(K,*)都是群(G,*)的子群,证明(H∩K,*)也是(G,*)的子群。

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第9题
设f(x)为Rn上的一个Cr函数(r≥1),M={x∈Rn|f(x)=0}≠∮,且对设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面,点P∈

设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面,点P∈M.证明:在M中存在P的一个开邻域U,使得U可用下列3种形式的Ck函数:2=f(x,y), y=g(x,z), x=h(y,z)中的一个确定为Ck曲面片.

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第10题
设G是群,~为G的元素之间的等价关系,并且∀a,x,y∈G,有ax~ay⇒x~y证明H={x│x∈G,x~e}是G的子群,其中e是G的单位元。

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