设u=u（x，y，z)是调和函数，S是以（x，y，z)为中心R半径的一球面，则

设u=u(x，y，z)是调和函数，S是以(x，y，z)为中心R半径的一球面，

则

设u=u（x，y，z)是调和函数，S是以（x，y，z)为中心R半径的一球面，则设u=u(x，y，

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第1题

函数u=u（x，y，z)在某一区域内有二阶连续导数，且Δu=0，就称u是调和函数．若V是有界闭域，S是其边界面，n是S的外法

函数u=u(x，y，z)在某一区域内有二阶连续导数，且Δu=0，就称u是调和函数．若V是有界闭域，S是其边界面，n是S的外法线单位向量．

证明 (1) 函数u=u（x，y，z)在某一区域内有二阶连续导数，且Δu=0，就称u是调和函数．若V是有界闭域，S

(2) 函数u=u（x，y，z)在某一区域内有二阶连续导数，且Δu=0，就称u是调和函数．若V是有界闭域，S

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第2题

设则称有二阶连续导数的函数u=u（x，y)为调和函数．证明“是调和函数的充要条件是对任意的简单闭曲线c，有其中n

设 $设则称有二阶连续导数的函数u=u（x，y)为调和函数．证明“是调和函数的充要条件是对任意的简单闭曲线$ 则称有二阶连续导数的函数u=u(x，y)为调和函数．证明“是调和函数的充要条件是对任意的简单闭曲线c，有 $设则称有二阶连续导数的函数u=u（x，y)为调和函数．证明“是调和函数的充要条件是对任意的简单闭曲线$ 其中n是c的外法向单位向量．

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第3题

证明对调和函数u的中值定理 c是以（x，y)为中心，R为半径的圆周．

证明对调和函数u的中值定理

$证明对调和函数u的中值定理 c是以（x，y)为中心，R为半径的圆周．证明对调和函数u的中值定理$

c是以(x，y)为中心，R为半径的圆周．

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第4题

求解二维稳恒水流通过宽度为2a的闸门的情形[如图6．24（a)]。求z平面半无界长条0＜Re（z)＜a，Im（z)＞0

求z平面半无界长条0＜Re(z)＜a，Im(z)＞0上的调和函数，边界条件为u|x=0=0，u|x=a=0，u|y=0=u0(如图6．28)。

求解二维稳恒水流通过宽度为2a的闸门的情形[如图6．24（a)]。求z平面半无界长条0＜Re（z)

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第5题

设u（x)是内的调和函数且在上连续，u（0)=0．试求数之间的联系，其中

设u(x)是 $设u（x)是内的调和函数且在上连续，u（0)=0．试求数之间的联系，其中设u(x)是内的调和函$ 内的调和函数且在 $设u（x)是内的调和函数且在上连续，u（0)=0．试求数之间的联系，其中设u(x)是内的调和函$ 上连续，u(0)=0．试求数

$设u（x)是内的调和函数且在上连续，u（0)=0．试求数之间的联系，其中设u(x)是内的调和函$ 之间的联系，其中 $设u（x)是内的调和函数且在上连续，u（0)=0．试求数之间的联系，其中设u(x)是内的调和函$

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第6题

设函数u（x)在上定义且连续，当x3=0时函数等于零，u（x)在B+内是调和函数．u（x)是否可以延拓为在内处处为调和的

设 $设函数u（x)在上定义且连续，当x3=0时函数等于零，u（x)在B+内是调和函数．u（x)是否可以延$ 函数u(x)在 $设函数u（x)在上定义且连续，当x3=0时函数等于零，u（x)在B+内是调和函数．u（x)是否可以延$ 上定义且连续，当x₃=0时函数等于零，u(x)在B₊内是调和函数．u(x)是否可以延拓为在 $设函数u（x)在上定义且连续，当x3=0时函数等于零，u（x)在B+内是调和函数．u（x)是否可以延$ 内处处为调和的函数？

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第7题

设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,

设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u（x,y,z)二阶偏导连续,函数W（x,y,z)偏导连续,

证明:

设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u（x,y,z)二阶偏导连续,函数W（x,y,z