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[主观题]

设f为[-π,π]上可积函数.证明:若f的傅里叶级数在[-π,π]上一致收敛于f,则成立帕窘瓦尔(Parseval)

设f为[-π,π]上可积函数.证明:若f的傅里叶级数在[-π,π]上一致收敛于f,则成立帕窘瓦尔(Parseval)

等式:

设f为[-π,π]上可积函数.证明:若f的傅里叶级数在[-π,π]上一致收敛于f,则成立帕窘瓦尔(P

这里an,bn为f的傅里叶级数.

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第1题
设f在[一a,a]上可积,证明:(1)若f为奇函数,则(2)若f为偶函数,则
设f在[一a,a]上可积,证明:(1)若f为奇函数,则(2)若f为偶函数,则

设f在[一a,a]上可积,证明:

(1)若f为奇函数,则

(2)若f为偶函数,则

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第2题
试证明: 设f(x)是[0,∞)上正值可积函数,则 .

试证明:

设f(x)是[0,∞)上正值可积函数,则

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第3题
设f在[a,b]们上有界证明:若f(x)在[a,b]上只有为其间断点,则f(x)在[a,b]上可积.
设f在[a,b]们上有界证明:若f(x)在[a,b]上只有为其间断点,则f(x)在[a,b]上可积.

设f在[a,b]们上有界证明:若f(x)在[a,b]上只有

为其间断点,则f(x)在[a,b]上可积.

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第4题
试证明: 设f(x)是[a,b]上的正值可积函数,令0<q≤b-a,记,则 .

试证明:

设f(x)是[a,b]上的正值可积函数,令0<q≤b-a,记,则

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第5题
证明:若函数f(x)在[a,b]连续,且对[a,b]上任意可积函数φ(x),有则f(x)=0(用反证法),
证明:若函数f(x)在[a,b]连续,且对[a,b]上任意可积函数φ(x),有则f(x)=0(用反证法),

证明:若函数f(x)在[a,b]连续,且对[a,b]上任意可积函数φ(x),有

则f(x)=0(用反证法),

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第6题
试证明: 设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可

试证明:

设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可积.

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第7题
试证明: 设f(x)在R1上非负可积,且有 (n∈N). 若令I=(-∞,-1]∪[1,∞),则f(x)=0,a.e.x∈I.

试证明:

设f(x)在R1上非负可积,且有

(n∈N).

若令I=(-∞,-1]∪[1,∞),则f(x)=0,a.e.x∈I.

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第8题
试证明: 设f(x)是[0,1]上正值递增函数,若有g(x)满足0≤g(x)≤[f(x)-f(y)]/(x-y)(0<y<x≤1),则存在(0,1)上递减

试证明:

设f(x)是[0,1]上正值递增函数,若有g(x)满足0≤g(x)≤[f(x)-f(y)]/(x-y)(0<y<x≤1),则存在(0,1)上递减可积函数F(x),使得g(x)≤F(x)(0<x<1).

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第9题
设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))

设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))为Ω上通常解析函数,则称x(t)在Ω上弱解析.证明Dunford定理:x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析.

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第10题
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f'(x)>0,若极限存在,证明: ①在(a,b)内f(x)>0;

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,

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第11题
设f(x)在-π≤x≤π上为黎曼可积函数,且极限f(0±)系存在.则有

设f(x)在-π≤x≤π上为黎曼可积函数,且极限f(0±)系存在.则有

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