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[主观题]

设ΩC为开区域（即连通开集)，X为复Banach空间．若x（t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x（t)在Ω上解析．若任意f∈X*，f（x（t))

设Ω $设ΩC为开区域（即连通开集)，X为复Banach空间．若x（t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x（t)在$ C为开区域(即连通开集)，X为复Banach空间．若x(t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x(t)在Ω上解析．若任意f∈X^*，f(x(t))为Ω上通常解析函数，则称x(t)在Ω上弱解析．证明Dunford定理：x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析．

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第1题

设X是连通的拓扑空间，C*（X)是X上连续复函数之集，是C*（X)中的一个等度连续函数之集．若对某个x0∈X，复数集{f（x

设X是连通的拓扑空间，C_*(X)是X上连续复函数之集，设X是连通的拓扑空间，C*（X)是X上连续复函数之集，是C*（X)中的一个等度连续函数之集．若对某个是C_*(X)中的一个等度连续函数之集．若对某个x₀∈X，复数集{f(x₀)：f∈}有界，证明对每个x∈X，{f(x)：f∈}都是有界的．

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第2题

设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→Lp[a，b]，1＜p＜∞．证明x（t)=x（t)（s)（s∈[a，b])在t0弱连续的充要条件是‖x（t)‖在t0的某邻

设Ω $设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→Lp[a，b]，1＜p＜∞．证明x（t)=x（t)（s)（s∈[$ 为开集，t₀∈Ω，x(t)：Ω→L^p[a，b]，1＜p＜∞．证明x(t)=x(t)(s)(s∈[a，b])在t₀弱连续的充要条件是‖x(t)‖在t₀的某邻域内有界，且对每个η∈[a,b], $设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→Lp[a，b]，1＜p＜∞．证明x（t)=x（t)（s)（s∈[$

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第3题

设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→lp，1＜p＜∞．证明x（t)={xn（t)}在t0弱连续的充要条件是‖x（t)‖在t0的某邻域内有界，且每个

设Ω $设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→lp，1＜p＜∞．证明x（t)={xn（t)}在t0弱连续的充要$ 为开集，t₀∈Ω，x(t)：Ω→l^p，1＜p＜∞．证明x(t)={x_n(t)}在t₀弱连续的充要条件是‖x(t)‖在t₀的某邻域内有界，且每个分量函数x_n(t)都在t₀连续．

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第4题

设是开区域，u（x，y)，v（x，y)在D内满足：，，u2+v2=C（C为常数) 求证 u（x，y)，v（x，y)在D内恒为常数．

设 $设是开区域，u（x，y)，v（x，y)在D内满足：，，u2+v2=C（C为常数) 求证 u$ 是开区域，u(x，y)，v(x，y)在D内满足：

$设是开区域，u（x，y)，v（x，y)在D内满足：，，u2+v2=C（C为常数) 求证 u$ ， $设是开区域，u（x，y)，v（x，y)在D内满足：，，u2+v2=C（C为常数) 求证 u$ ，u²+v²=C(C为常数)

求证 u(x，y)，v(x，y)在D内恒为常数．

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第5题

设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2.但是由方程f（x)=0仍可能在点x0的邻域内

设n＞2, $设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2$ 为开集， $设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2$ 且

$设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2$ .

证明:在满足f(x₀)=0的点x₀处，rankf'(x₀)＜2.但是由方程f(x)=0仍可能在点x₀的邻域内确定隐函数 $设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2$ .

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第6题

设是开集，f:D→Rn,而且适合 ⅰ) f在D上可微，且f'连续; ⅱ) 当x∈D时，detf'（x)≠0, 则f（D)是开集.

设 $设是开集，f:D→Rn,而且适合 ⅰ) f在D上可微，且f'连续; ⅱ) 当x∈D时，d$ 是开集，f:D→Rⁿ,而且适合

ⅰ) f在D上可微，且f'连续;

ⅱ) 当x∈D时，detf'(x)≠0,

则f(D)是开集.

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第7题

设f：Rn→R是n元数量值连续函数，c∈R是一个常数，证明（1){x∈Rn|f（x)＞c}与{x∈Rn|f（x)＜c}均为开集；（3){x∈Rn|f

设f：Rⁿ→R是n元数量值连续函数，c∈R是一个常数，证明

(1){x∈Rⁿ|f(x)＞c}与{x∈Rⁿ|f(x)＜c}均为开集；

(3){x∈Rⁿ|f(x)=c}是闭集

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第8题

设是紧集，{Gk}是K的开（球)覆盖，试证明存在ε0＞0，使得对任意的x∈K，B（x，ε0)必含于某个Gk中．

设 $设是紧集，{Gk}是K的开（球)覆盖，试证明存在ε0＞0，使得对任意的x∈K，B（x，ε0)必含于某$ 是紧集，{G_k}是K的开(球)覆盖，试证明存在ε₀＞0，使得对任意的x∈K，B(x，ε₀)必含于某个G_k中．

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第9题

判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与界点：（1) [a，b)×[c，d)；（2) {（x

判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与界点：

(1) [a，b)×[c，d)；

(2) {(x，y)|xy≠0)；

(3) {(x，y)|xy＝0}；

(4) {(x，y)|y＞x²}；

(5) {(x，y)|x＜2，y＜2，x+y＞2}；

(6) {(x，y)|x²+y²=1或y=O，0≤x≤1}；

(7) {(x，y)|x²+y²≤1或y=0，1≤x≤2}；

(8) {(x，y)|x，y均为整数}，

(9) 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与界点：（1) [a，b)

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第10题

设X是复Banach空间，，g是解析函数且使解析演算g（T)是紧算子．又设σ（T)是不可数集．证明g在某点的邻域内必为常

设X是复Banach空间，设X是复Banach空间，，g是解析函数且使解析演算g（T)是紧算子．又设σ（T)是不可数集．证明g ，g是解析函数且使解析演算g(T)是紧算子．又设σ(T)是不可数集．证明g在某点的邻域内必为常数函数．

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