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[主观题]

设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2.但是由方程f（x)=0仍可能在点x0的邻域内

设n＞2, $设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2$ 为开集， $设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2$ 且

$设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2$ .

证明:在满足f(x₀)=0的点x₀处，rankf'(x₀)＜2.但是由方程f(x)=0仍可能在点x₀的邻域内确定隐函数 $设n＞2,为开集，且 . 证明:在满足f（x0)=0的点x0处，rankf'（x0)＜2$ .

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第1题

设ΩC为开区域（即连通开集)，X为复Banach空间．若x（t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x（t)在Ω上解析．若任意f∈X*，f（x（t))

设Ω $设ΩC为开区域（即连通开集)，X为复Banach空间．若x（t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x（t)在$ C为开区域(即连通开集)，X为复Banach空间．若x(t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x(t)在Ω上解析．若任意f∈X^*，f(x(t))为Ω上通常解析函数，则称x(t)在Ω上弱解析．证明Dunford定理：x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析．

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第2题

设f（x)在x=0的某个邻域内有定义，x，y为该邻域内任意两点，且f（x)满足条件： 1)f（x+y)=f（x)+f（y)+1， 2)f'

设f(x)在x=0的某个邻域内有定义，x，y为该邻域内任意两点，且f(x)满足条件：

1)f(x+y)=f(x)+f(y)+1，

2)f'(0)=1．

证明：在上述邻域内f'(x)=1．

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第3题

设函数f（x)满足：（1)．f（0)=0；（2)x≠0时，其中a，b，c为常数，且|a|≠|b|．证明：f（x)是奇函数．

设函数f(x)满足：(1)．f(0)=0；(2)x≠0时， $设函数f（x)满足：（1)．f（0)=0；（2)x≠0时，其中a，b，c为常数，且|a|≠|b|．证$ 其中a，b，c为常数，且|a|≠|b|．证明：f(x)是奇函数．

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第4题

设S为区域力的边界曲面，n为S的向外单位法矢，若F和G在Ω中满足 ▽.F=▽.G， ▽×F=▽×G，且在S

上满足 F.n=G.n．证明在Ω中有 F=G．

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第5题

设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→lp，1＜p＜∞．证明x（t)={xn（t)}在t0弱连续的充要条件是‖x（t)‖在t0的某邻域内有界，且每个

设Ω $设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→lp，1＜p＜∞．证明x（t)={xn（t)}在t0弱连续的充要$ 为开集，t₀∈Ω，x(t)：Ω→l^p，1＜p＜∞．证明x(t)={x_n(t)}在t₀弱连续的充要条件是‖x(t)‖在t₀的某邻域内有界，且每个分量函数x_n(t)都在t₀连续．

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第6题

设Ω为开集，￡。∈n，z（t)：以一l’，1＜p＜。。．证明,27（￡)一{xn（t)}在t0弱可导的充要条件是：（1)存在正的常数δ与M，使

设Ω $设Ω为开集，￡。∈n，z（t)：以一l’，1＜p＜。。．证明,27（￡)一{xn（t)}在t0弱可导$ 为开集，￡。∈n，z(t)：以一l’，1＜p＜。。．证明,27(￡)一{x_n(t)}在t₀弱可导的充要条件是：

(1)存在正的常数δ与M，使得当0＜|h|≤δ时有 $设Ω为开集，￡。∈n，z（t)：以一l’，1＜p＜。。．证明,27（￡)一{xn（t)}在t0弱可导$ ≤M

(2)每个分量函数x_n(t)都在t₀可导．

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第7题

设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→Lp[a，b]，1＜p＜∞．证明x（t)=x（t)（s)（s∈[a，b])在t0弱连续的充要条件是‖x（t)‖在t0的某邻

设Ω $设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→Lp[a，b]，1＜p＜∞．证明x（t)=x（t)（s)（s∈[$ 为开集，t₀∈Ω，x(t)：Ω→L^p[a，b]，1＜p＜∞．证明x(t)=x(t)(s)(s∈[a，b])在t₀弱连续的充要条件是‖x(t)‖在t₀的某邻域内有界，且对每个η∈[a,b], $设Ω为开集，t0∈Ω，x（t)：Ω→Lp[a，b]，1＜p＜∞．证明x（t)=x（t)（s)（s∈[$

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第8题

设f（x)为Rn上的一个Cr函数（r≥1)，M={x∈Rn｜f（x)=0}≠∮，且对设M为R3中的一个2维Ck（k≥1)正则曲面，点P∈

设M为R3中的一个2维Ck(k≥1)正则曲面，点P∈M．证明：在M中存在P的一个开邻域U，使得U可用下列3种形式的Ck函数：2=f(x，y)， y=g(x，z)， x=h(y，z)中的一个确定为Ck曲面片．

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第9题

设B[a，b]，α＞0．令A0={f∈C[a，b]：f（t)=0，t∈B)，Aα={f∈C[a，b]：|f（t)|＜α，其中t∈B}．证明A0为C[a，b]中闭集；Aα为C[a，

设B $设B[a，b]，α＞0．令A0={f∈C[a，b]：f（t)=0，t∈B)，Aα={f∈C[a，b]$ [a，b]，α＞0．令A₀={f∈C[a，b]：f(t)=0， $设B[a，b]，α＞0．令A0={f∈C[a，b]：f（t)=0，t∈B)，Aα={f∈C[a，b]$ t∈B)，A_α={f∈C[a，b]：|f(t)|＜α，其中t∈B}．证明A₀为C[a，b]中闭集；A_α为C[a，b]中开集的充要条件是B为闭集．

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第10题

试证明：设fn∈C（[a，b])（n∈N)，且（a≤x≤b)．则（λ∈R1)是Fσ集．

试证明：

设f_n∈C([a，b])(n∈N)，且 $试证明：设fn∈C（[a，b])（n∈N)，且（a≤x≤b)．则（λ∈R1)是Fσ集．试证明：$ (a≤x≤b)．则 $试证明：设fn∈C（[a，b])（n∈N)，且（a≤x≤b)．则（λ∈R1)是Fσ集．试证明：$ (λ∈R¹)是F_σ集．

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