求摆线x=a(t-sint)y=a(1-cost)(a>0)的一拱与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积。
计算下列对弧长的曲线积分:
(1),其中Γ为曲线,,上相应于t从0变到2的这段弧;
(2),其中Γ为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2);
(3),其中L为摆线的一拱x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤2π);
(4)其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(0≤t≤2π).
利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)星形线x=acos3t,y=asin3t,0≤t≤2π;(2)双纽线r2=a2cos2
求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积:在区间【0,π/2】上,曲线y=sinx与x=π/2,y=0所围成的图形。
过点P(1,0)作抛物线的切线,该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形(如图6-2所示),求此平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积.