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[主观题]
证明:将区域a≤x≤b,0≤y≤y(x)(其中y(x)是连续函数)绕y轴旋转所成的旋转体的体积
证明:将区域a≤x≤b,0≤y≤y(x)(其中y(x)是连续函数)绕y轴旋转所成的旋转体的体积
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设D是平面区域,P(x,y)和Q(x,y)在D内具有连续偏导数,试证明以下四个条件等价:
(1)Pdx+Qdy=du;
(2)
(3)c是D内任一简单闭曲线,∮cPdx+Qdy=0;
(4)∫ABPdx+Qdy与是什么路径无关,只要
,且
∫ABPdx+Qdy=u|AB=U(B)-u(A)
设公是空间有界闭区域0的整个边界曲面,u(x,y,z) ,v(x,y,z)在Ω上有二阶连续偏导数,分别表示u(x,y,z),v(x,y,z)沿E的外法线方向的方向导数,证明:
考察参数区域为上半平面D={(x,y)|y>0},而其第1基本形式为
并称这个度量为Poincae度量.证明:它的测地线为正交于x轴的上半平面的半圆或半直线(即平行y轴的半直线).
函数u=u(x,y,z)在某一区域内有二阶连续导数,且Δu=0,就称u是调和函数.若V是有界闭域,S是其边界面,n是S的外法线单位向量.
证明 (1)
(2)
将三重积分化为先对y,再对x,最后对z的三次积分.其中Ω是由x+y+z=1,x+y=1,x=0,y=0和z=1所围成的闭区域,f(x,y,z)在Ω上连续。
设函数f(t,x)在平面上的条形区域 G={(t,x)∈R2:a<t<b,|x|<∞} 上连续且满足不等式 |f(t,x)|≤A(t)|x|+B(t), 其中A(t)≥0,B(t)≥0均在区间(a,b)上连续,证明方程
的任一解的最大存在区间均为(a,b).