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[主观题]

试证明：试证明是开集当且仅当；是闭集当且仅当.

试证明：

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答案

[证明] 后一结论证明如下：
必要性若，则对任一δ＞0，存在且x_n∈B(x₀，δ)．由此知x_n→x₀(n→∞)．因为F是闭集，所以x₀∈F．
充分性设x₀∈F'，则存在且x_n→x₀(n→∞)．易知x₀∈F，因为否则，而，所以x₀∈F．矛盾．证毕．

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试证明：是开集当且仅当对任意的，均有．

试证明：

是开集当且仅当对任意的，均有．

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设有递增开集列：，且，试证明对任意的有界闭集，必存在k0，当k≥k0时，有．

设有递增开集列：，且，试证明对任意的有界闭集，必存在k₀，当k≥k₀时，有．

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试证明：设是两个开集，且，则．

试证明：

设是两个开集，且，则．

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试证明：设，且，则存在开集，，且．

试证明：

设，且，则存在开集，，且．

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设ΩC为开区域（即连通开集)，X为复Banach空间．若x（t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x（t)在Ω上解析．若任意f∈X*，f（x（t))

设ΩC为开区域(即连通开集)，X为复Banach空间．若x(t)：Ω→X在Ω处处可导，则称x(t)在Ω上解析．若任意f∈X^*，f(x(t))为Ω上通常解析函数，则称x(t)在Ω上弱解析．证明Dunford定理：x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析．

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第6题

试证明：设f∈C（[0，∞))∩L（[0，∞))，且是正值递减函数，则当且仅当对t＞0有f（x+t)/f（x)→0（x→+∞)．

试证明：

设f∈C([0，∞))∩L([0，∞))，且是正值递减函数，则

当且仅当对t＞0有f(x+t)/f(x)→0(x→+∞)．

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第7题

设是闭集，若D是包含F的闭圆盘，且是任一包含F的闭圆盘的子集，试证明D中的点均为F中两个点联线的中点．

设是闭集，若D是包含F的闭圆盘，且是任一包含F的闭圆盘的子集，试证明D中的点均为F中两个点联线的中点．

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第8题

试证明：设是一个区间（不论开、闭均可)．则f∈C（I)的充分必要条件是：（i)对I中的任一子区间J，f（J)是一个区间

试证明：

设是一个区间(不论开、闭均可)．则f∈C(I)的充分必要条件是：

(i)对I中的任一子区间J，f(J)是一个区间；

(ii)对任意的y∈R¹，f^-1({y})是闭集．

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第9题

试证明：设f∈L（R1)且f（x)≥0（x∈R1)，则存在闭集列：，使得， f∈C（Fn) （n∈N)．

试证明：

设f∈L(R¹)且f(x)≥0(x∈R¹)，则存在闭集列：，使得

， f∈C(F_n) (n∈N)．

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第10题

记R2中以（x，rx)为中心的开圆为Bx，其中x∈R2，rx为正有理数，且令点集，．试证明不论如何选择rx，总有．

记R²中以(x，r_x)为中心的开圆为B_x，其中x∈R²，r_x为正有理数，且令点集

，．

试证明不论如何选择r_x，总有．

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第11题

设，作E={b∈R1：存在ank→b（k→∞)}，试证明E是闭集.

设，作E={b∈R¹：存在a_{n_k}→b(k→∞)}，试证明E是闭集.

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