设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))为Ω上通常解析函数,则称x(t)在Ω上弱解析.证明Dunford定理:x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析.
设H是复Hilbert空间,为自共轭算子,{Eλ}是T的谱系,ε>0,Ωε={λ∈σ(T):|λ|≥ε}.证明:T是紧算子当且仅当对任意的ε>0,有Tε=λdEλ是有界的有限秩算子.
试证明:
设f∈C([0,∞))∩L([0,∞)),且是正值递减函数,则
当且仅当对t>0有f(x+t)/f(x)→0(x→+∞).
证明Banach空间X是严格凸的当且仅当对任意x*∈X*,x*≠θ,若z1,z2∈X,‖z1‖=‖z2‖=1使(x*,z1)=(x*,z2)=(x*,x),则必有z1=z2.
设是紧集,{Gk}是K的开(球)覆盖,试证明存在ε0>0,使得对任意的x∈K,B(x,ε0)必含于某个Gk中.
试证明:
设f(x),g(x)是[0,∞)上正值可测函数,且对任意的a>0,f∈L([0,a]),g∈L([0,a]).若有
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则存在充分大的值r,使得对满足0≤s≤r的s,均有
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