题目内容
（请给出正确答案）
[主观题]
设f（x)在[0，1]上连续，在（0，1)内可导，f（0)=0，k为正整数，证明：
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，k为正整数，证明：
答案
令F(x)=(x-1)kf(x)，
显然F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，
∴根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0，1)使得F'(ξ)=0．
即k(ξ-1)k-1f(ξ)+(ξ-1)kf'(ξ)=0，即ξf'(ξ)+kf(ξ)=f'(ξ)．$令F(x)=f(x)[f(1-x)]k，
显然F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，
∴根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0，1)使得F'(ξ)=0，
即f'(ξ)[f(1-ξ)]k-kf(ξ)[f(1-ξ)]k-1f'(1-ξ)=0，
即
如果结果不匹配，请 联系老师 获取答案
更多“设f（x)在[0，1]上连续，在（0，1)内可导，f（0)=…”相关的问题
求
。
由此结论成立
